Un système d’inégalités se résout en isolant l’ensemble des valeurs qui satisfont simultanément chaque contrainte. La difficulté réside moins dans la résolution d’une inégalité isolée que dans le croisement de plusieurs contraintes, surtout quand le nombre de variables augmente ou quand les expressions ne sont pas linéaires. Cet article détaille les méthodes opérationnelles, leurs limites structurelles et les erreurs de raisonnement qui piègent régulièrement.
Méthode des intervalles pour les systèmes d’inégalités à une variable
La méthode des intervalles reste la technique de référence pour traiter un système d’inégalités polynomiales ou rationnelles à une variable. Le principe : factoriser chaque expression, identifier ses zéros et ses points d’exclusion, puis dresser un tableau de signes sur les intervalles ainsi délimités.
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La solution du système correspond à l’intersection des intervalles où chaque inégalité est vérifiée. Prenons deux inégalités du type (x – 1)(x + 3) > 0 et x – 2 ≤ 0. La première est satisfaite sur ]-∞, -3[ ∪ ]1, +∞[, la seconde sur ]-∞, 2]. L’intersection donne ]-∞, -3[ ∪ ]1, 2].
L’erreur classique consiste à résoudre chaque inégalité correctement, puis à prendre l’union au lieu de l’intersection. Un système impose que toutes les contraintes soient respectées en même temps, pas alternativement.
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Cas des inégalités rationnelles
Quand le système contient des fractions rationnelles, la factorisation doit intégrer les valeurs interdites au dénominateur. Ces valeurs ne sont jamais incluses dans l’ensemble des solutions, même si l’inégalité est large (≤ ou ≥). Omettre un point d’exclusion fausse la réponse finale sans que le reste du raisonnement paraisse incorrect, ce qui rend l’erreur difficile à détecter.
Résolution graphique des systèmes d’inégalités à deux variables
Chaque inégalité linéaire à deux variables délimite un demi-plan dans le repère cartésien. La résolution graphique consiste à tracer la droite frontière de chaque contrainte, puis à identifier la région commune à tous les demi-plans.
La procédure standard suit un ordre précis :
- Réécrire chaque inégalité sous forme pente-ordonnée à l’origine (y = mx + b) pour faciliter le tracé de la droite frontière.
- Tracer une droite pleine si l’inégalité est large (≤ ou ≥), une droite en pointillés si elle est stricte (< ou >).
- Tester un point de chaque côté de la droite (souvent l’origine) pour déterminer quel demi-plan satisfait l’inégalité.
- Hachurer ou colorer les régions valides, puis repérer la zone de chevauchement, qui constitue l’ensemble des solutions.
Systèmes sans solution et systèmes non bornés
Deux situations méritent une attention particulière. Un système peut ne pas avoir de solution si les demi-plans ne se recoupent nulle part : les contraintes sont alors contradictoires. À l’inverse, la région des solutions peut être non bornée, c’est-à-dire s’étendre à l’infini dans une ou plusieurs directions. Dans ce cas, toute paire (x, y) de la région est solution, et l’ensemble ne se réduit pas à un polygone fermé.
La différence entre droite pleine et droite en pointillés a un impact direct sur la réponse. Inclure ou exclure la frontière change la nature de l’ensemble (fermé, ouvert ou semi-ouvert), ce qui est décisif quand on cherche ensuite un extremum.
Programmation linéaire et fonction objectif sur un système d’inégalités
Nous confondons souvent deux questions distinctes. Trouver l’ensemble des solutions admissibles d’un système d’inégalités est une chose. Optimiser une fonction sur cet ensemble en est une autre. La programmation linéaire ajoute une fonction objectif (augmenter un profit, minimiser un coût) dont on cherche la valeur adaptée parmi les points de la région admissible.
Pour un système linéaire à deux variables, le théorème fondamental de la programmation linéaire garantit que l’optimum se trouve à un sommet du polygone convexe formé par les contraintes. Il suffit alors d’évaluer la fonction objectif en chaque sommet et de comparer les résultats.
Au-delà de deux variables : la méthode du simplexe
La représentation graphique a une limite structurelle : elle ne fonctionne qu’avec deux variables. Quand le problème en comporte davantage, la visualisation dans le plan devient impossible. La méthode du simplexe prend alors le relais en explorant systématiquement les sommets du polyèdre convexe défini par les contraintes, sans avoir besoin de les représenter graphiquement.
Cette méthode, issue de la recherche opérationnelle, transforme le système d’inégalités en un système d’équations par ajout de variables d’écart, puis pivote d’un sommet à l’autre en améliorant la valeur de la fonction objectif à chaque itération. Elle est applicable à des systèmes comportant des dizaines, voire des centaines de variables et de contraintes.
Erreurs fréquentes dans la résolution de systèmes d’inégalités
Certaines erreurs reviennent avec une régularité prévisible, y compris chez des praticiens expérimentés.
- Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par une quantité négative sans inverser le sens. C’est la source d’erreur la plus documentée, et elle se propage silencieusement dans un système de plusieurs contraintes.
- Confondre union et intersection lors du croisement des solutions partielles. Un système exige l’intersection, pas la réunion.
- Oublier les valeurs interdites dans les inégalités rationnelles, ce qui introduit des solutions parasites dans l’ensemble final.
Sur le plan graphique, une erreur de hachure sur un seul demi-plan invalide toute la résolution. Le test systématique d’un point (typiquement l’origine, si elle n’appartient pas à la droite frontière) reste le garde-fou le plus fiable.
La distinction entre inégalité stricte et inégalité large semble mineure en apparence. Elle ne l’est pas quand la solution adaptée se situe précisément sur la frontière : une droite en pointillés exclut ce point, et la réponse change.
L’approche la plus sûre pour un système quelconque reste de traiter chaque inégalité séparément, de vérifier les cas limites (frontières, points d’exclusion, sens de l’inégalité après multiplication par un négatif), puis de croiser les résultats. Aucun raccourci ne remplace cette rigueur séquentielle.
